تعليم

حل معادلة من الدرجة الثالثة

طريقة حل المعادلات التكعيبية

نظرية الوحدة وتقسيم الكتلة

جميع المعادلات التكعيبية لها جذر حقيقي أو ثلاث قواعد حقيقية، ويتم استخدام نظرية المعامل والقسمة المعقدة كأبسط طريقة لحل المعادلات التكعيبية، وتتطلب التخمين وبعض العمليات الحسابية، كما هو موضح أدناه:

  • اكتب معادلات تكعيبية في الصورة القياسية.
  • أوجد أحد قواعد المعادلة التكعيبية عن طريق التخمين. تتكون الطريقة من كتابة مجموعة من الأرقام المقترحة، ثم استبدالها في المعادلة التكعيبية بدلاً من x، ويعتبر الرقم الذي يجعل المعادلة مساوية للصفر أحد الجذور، ونفترض أنه (L) ؛ من بينها: a (l) ³ + bx (l) ² + cx (l) + d =، وعادة ما يكون الجذر أحد معاملات الرقم d، وهو ثابت المعادلة (أي المنتج يساوي الرقم (د) مقسومًا على القيمة صفر) فقط عندما تكون قيمة a 1.
  • اكتب المعادلة بالصيغة التالية: (xl) (x تربيع + power + b) ؛ حيث L هو الرقم في الخطوة السابقة، إذن (x-1) هو أحد عوامل المعادلة التكعيبية، و x = 1 يمثل أحد حلول المعادلة.
  • استخدم القسمة المركبة لإيجاد التعبير التربيعي المصطلح (x2 + s + b) ؛ قسمة المعادلة التكعيبية على (SL) كالتالي:
    • تتم كتابة معاملات المعادلة التكعيبية في السطر الأول، ثم يتم وضع خط فاصل رأسي على الجانب الأيسر، متبوعًا بـ x = -l، ويتم ترك سطر فارغ أسفل المعلمة، ثم خط أفقي. المكان كما هو موضح أدناه:

إلى bcd | س = لام – | ————————— ـــ |

  • إذا افترضنا أن المعادلة التكعيبية هي التالية: x-5 x تربيع -2 x + 24 = 0، و (x + 2) أحد عوامل المعادلة، فإن القسمة المعقدة تكون كما يلي:

1-5 -2 24 | س = -2 __________________________ | —————————— __________________________ |

  • اكتب الرقم (1) أسفل الخط الأفقي، وهو الرقم الأول من اليمين، ثم اضربه في (-2) لتحصل على: 1 × -2 = -2، واكتب النتيجة أدناه -5، كما هو موضح أدناه:

1-5 -2 24 | س = -2 ــــ -2 ــــــــــ | | ——————————— 1 ــــ ـــ |

  • ثم ابحث عن مجموع -5 و -2، واكتب النتيجة أسفل الخط الأفقي، كما هو موضح أدناه:

1-5 -2 24 | س = -2 ــــ -2 ــــ | ——————————— 1-7 ــــــــــ |

  • كرر المهمة أعلاه حتى (-7) ؛ اضربها في الرقم (-2) وضع النتيجة في الصف الثاني أسفل -2، ثم اجمع الرقمين وضع النتيجة أسفل الخط الأفقي، كما يلي:

1-5 -2 24 | س = -2 ــــ -2 ــــــــــ | | ——————————— 1 -7 ــــ |

  • ثم كرر المهمة حتى يظهر الرقم صفر في نهاية رقم هاتف لرقم أسفل الخط الأفقي، ويشير مظهره إلى أن الحل صحيح كما هو موضح أدناه:

1-5 -2 24 | س = -2 -2 14-24 | ——————————— 1-7 12 0 |

  • يمثل الصف السفلي أسفل الخط الأفقي عامل المعادلة التربيعية (س تربيع + س + ب) مضروبًا في العامل (س + 1): إذن المعادلة التكعيبية س -5-س تربيع -2 س + 24 = 0 مكتوبة على النحو التالي يلي: (x تربيع – 7 x + 12) (x + 2) = 0.
  • تحليل المعادلة التربيعية للاستنتاج التالي: (x-7s + 12) = (x-3) (x-4)، بحيث تتم كتابة المعادلة التكعيبية على النحو التالي: (x-3) (x -4) ( x + 2) = 0 يمكن الاستنتاج أن حل المعادلة التكعيبية هو: x = 3، x = 4، x = -2.

حل المعادلة العامة للمعادلة التكعيبية.

سيكون حل المعادلات التكعيبية بشكل عام أطول وأقل سهولة، وهو مشابه للصيغة العامة المستخدمة في حل المعادلات التربيعية. في حالة إدخال قيم a و b و c و d للحصول على الحل، تكون الصيغة كما يلي:

  • س = {ك + [ك²+(ر-ع²)³]√} ∛ + {ك- [ك²+(ر-ع²)³]√} ∛ + r ؛ مع ذلك:
    • P = -b / 3 عندما.
    • K = v + (bxc -3 xaxd) / (6 xa²).
    • T = ج / 3 أ.

مثال على حل معادلة تكعيبية

  • مثال 1: أوجد حل المعادلة التكعيبية التالية: 2x + 3x²-11x-6 = 0؟
    • الحل:
    • أوجد العامل -6 وعوض به في المعادلة للتعويض عن x حتى تجد العامل الذي يجعل المعادلة تساوي صفرًا والعدد يساوي 2 ؛ خلاف ذلك، استبدلها بـ x. بينهما: 2 × (2) + 3 × ² (2) -11 × (2) -6 = 0.
    • اكتب المعادلة بالصيغة التالية: (س -2) (س تربيع + قوة + ب) ؛ حيث يمثل 2 الرقم من الخطوة السابقة، لذا فإن المصطلح (x-2) يمثل أحد عوامل المعادلة التكعيبية، و x = 2 هو أحد حلول هذه المعادلة.
    • استخدم القسمة المعقدة لإيجاد الحد الذي يمثل التعبير التربيعي (x2 + s + b) ؛ قسمة المعادلة التكعيبية على (x-2) كالتالي:

2 3-11 -6 | س = 2 -4 14 6 | ——————————— 2 7 3 0 |

    • يمثل الصف السفلي عامل المعادلة التربيعية (س تربيع + 7 س + ب) مضروبًا في العامل (س -2)، لذلك تتم كتابة المعادلة التكعيبية على النحو التالي: 2 س-س + 3 س تربيع 11 س -6 = 0، مثل الموضح أدناه: (2 × 2 + 7 × +3) (س-) 2) = 0.
    • استخدم إحدى الطرق المتاحة لتحليل المعادلة التربيعية للحصول على التعبير التالي: (2 × 2 + 7 × +3) = (2 س + 1) (س + 3)، بحيث تتم كتابة المعادلة التكعيبية على النحو التالي: (2 س + 1 ) (x + 3)) (x-2)) = 0 الحل الناتج هو: x = -، x = -3، x = 2.
  • المثال الثاني: أوجد حل المعادلة التكعيبية التالية: x-7 x square + 4 x + 12 = 0؟
    • الحل:
    • أوجد العامل 12، ثم عوض به في المعادلة لتحل محل x، حتى تجد العامل الذي يجعل المعادلة تساوي صفرًا، والرقم هو -1 ؛ حيث: (-1) ³-7 × (-1) ² + 4 × (-1) + 12 = 0.
    • اكتب المعادلة بالصيغة التالية: (س +1) (س تربيع + قوة + ب) ؛ حيث يمثل -1 الرقم من الخطوة السابقة، لذا فإن المصطلح (x +1) يمثل أحد العوامل التكعيبية للمعادلة، و x = -1 يعني أحد حلول هذه المعادلة.
    • استخدم القسمة المركبة لإيجاد التعبير التربيعي المصطلح (x2 + s + b) ؛ قسمة المعادلة التكعيبية على (س + 1) كالتالي:

1-7 4 12 | س = -1 -1 8 12 | ——————————— 1-8 12 0 |

    • يمثل الحد الأدنى عامل المعادلة التربيعية (س تربيع + س + ب) مضروبًا في العامل (س +1)، لذلك يتم التعبير عن المعادلة التكعيبية س -7 س تربيع + 4x + 12 = 0 على النحو التالي: س -8. س + 12) (س + 12) 1) = 0.
    • استخدم طريقة متاحة لتحليل المعادلة التربيعية لإنتاج المعادلة التربيعية: (x-8x +12) = (x-2) (x-6)، بحيث تتم كتابة المعادلة التكعيبية على النحو التالي: (x- 2) (x – 6) (x) + 1)) = 0 الحل الناتج هو: x = 2، x = 6، x = -1.
  • المثال الثالث: أوجد حل المعادلة التكعيبية التالية: 6x-5x²-17x + 6 = 0؟
    • الحل:
    • ابحث عن رقم هاتف يحل محل x في المعادلة، المعادلة تساوي 0، الرقم هو 2 ؛ لذلك، ابحث عن رقم هاتف يساوي 0. من بينها: 6 x (2) ³-5 x (2) ²-17 x (2) + 6 = 0.
    • اكتب المعادلة بالصيغة التالية: (س -2) (س تربيع + قوة + ب) ؛ حيث يمثل 2 الرقم من الخطوة السابقة، لذا فإن المصطلح (x-2) يمثل أحد عوامل المعادلة التكعيبية، و x = 2 يمثل أحد حلول هذه المعادلة.
    • استخدم القسمة المركبة لإيجاد التعبير التربيعي المصطلح (x2 + s + b) ؛ قسمة المعادلة التكعيبية على (x-2) كالتالي:

6-5-17 6 | س = 2 12 14 6 | ——————————— 6 7 -3 0 |

    • يمثل الصف السفلي عامل المعادلة التربيعية (x تربيع + xb) مضروبًا في العامل (x-2)، لذلك تتم كتابة المعادلة التكعيبية على أنها 6x-5x-17x + 6 = 0، كما هو موضح أدناه: (6 x 2 + 7x- 3)) (X-2) = 0.
    • استخدم طريقة متاحة لتحليل المعادلة التربيعية للحصول على التعبير التالي: (6 x 2 + 7x-3) = (2x + 3) (3x-1)، بحيث تتم كتابة المعادلة التكعيبية على النحو التالي: (2x + 3 ) (3x-1)) (x-2)) = 0 الحل الناتج هو: x = -1.5، x = ⅓، x = 2.
  • المثال الرابع: أوجد حل المعادلة التكعيبية التالية: x-2 x تربيع-6s + 4 = 0؟
    • الحل:
    • أوجد العامل 4 وعوض به في المعادلة للتعويض عن x حتى تجد العامل الذي يجعل المعادلة تساوي صفرًا، وهو الرقم -2.
    • اكتب المعادلة بالصيغة التالية: (س + 2) (س تربيع + قوة + ب) ؛ حيث يمثل -2 الرقم في الخطوة السابقة، فإن المصطلح (x + 2) يمثل أحد عوامل المعادلة التكعيبية، ويمثل x = –2 حل المعادلة.
    • استخدم القسمة المركبة لإيجاد التعبير التربيعي المصطلح (x2 + s + b) ؛ قسمة المعادلة التكعيبية على (س + 2) كالتالي:

1 -2 6 4 | س = -2 -2 8 -4 | ——————————— 1-4 2 0 |

    • يمثل الحد الأدنى عامل المعادلة التربيعية (س تربيع + س + ب) مضروبًا في العامل (س + 2)، لذلك يتم التعبير عن المعادلة التكعيبية x-2 x تربيع -6s + 4 = 0 على النحو التالي: x-4s + 2) (س + 2)) = 0.
    • حلل المعادلة التربيعية باستخدام الصيغة العامة المستخدمة في حل المعادلة التربيعية، واحصل على: x = 2 ± 2√، ثم الحل الذي تم الحصول عليه هو: x = 2 ± √2، x = -2.
  • المثال الخامس: أوجد حل المعادلة التكعيبية التالية: x-6 x square + 11 x-6 = 0؟
    • الحل:
    • أوجد العامل -6، ثم عوض به في x في المعادلة حتى تجد رقمًا يجعل المعادلة تساوي صفرًا، وهو 1 ؛ وإلا فسيكون 0. بينهما: (1) ³-6 × (1) ² + 11 × (1) -6 = 0
    • اكتب المعادلة بالصيغة التالية: (س -1) (س تربيع + قوة + ب) ؛ حيث يمثل 1 الرقم من الخطوة السابقة، لذا فإن المصطلح (x-1) يمثل أحد عوامل المعادلة التكعيبية، و x = 1 يمثل أحد حلول هذه المعادلة.
    • استخدم القسمة المركبة لإيجاد التعبير التربيعي المصطلح (x2 + s + b) ؛ قسمة المعادلة التكعيبية على (x-2) كالتالي:

1-6 11-6 | س = 1 -1-5 6 | ——————————— 1-5 6 0 |

    • يمثل الحد الأدنى عامل المعادلة التربيعية (x تربيع + exp + b) مضروبًا في العامل (x-1)، لذلك يتم التعبير عن المعادلة التكعيبية x-6 x تربيع + 11x-6 = 0 على النحو التالي: x-5s -6) (X-) 1) = 0.
    • استخدم طريقة متاحة لتحليل المعادلة التربيعية للحصول على: (x-5s + 6) = (x-3) (x-2)، بحيث تتم كتابة المعادلة التكعيبية على النحو التالي: (x-3) (x -2) (x-) 1)) = 0 الحل الناتج هو: x = 3 و x = 2 و x = 1.

.

نظرة عامة على المعادلات التكعيبية

يمكن تعريف المعادلة التكعيبية على أنها متعددة الحدود التكعيبية، وصيغتها العامة هي كما يلي:

  • إكسب + ب س² + ج س + د = 0 ؛ مع ذلك:
    • A و B و C و D أعداد مركبة، فكما أن a لا يمكن أن يساوي صفرًا والباقي يمكن أن يساوي صفرًا.

مقالات ذات صلة

زر الذهاب إلى الأعلى